Rumus Cepat Integral (Mencari Luas) I ~ blog buat tugas

Tentu saja bagi yang suka rumus cepat, rumus ini sudah tidak asing bagi teman-teman yang sudah belajar mengenai integral. Rumus cepat untuk mencari luas ini sudah banyak diketahui oleh siswa.

$Luas= \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}$

Yaitu rumus cepat untuk mencari luas yang dibatasi oleh suatu kurva kuadrat dan sumbu x.
Ada siswa yang ingin tahu, sebenarnya dari manakah asal rumus tersebut?
Di sini akan kami coba untuk sedikit menjabarkan rumus tersebut.

Soal :
Luas daerah yang dibatasi oleh $y=x^2-25$ dan sumbu x adalah … satuan luas
Jawab : (Cara Cepat)
a=1 , b=0, c=-25 dan D=100

$Luas= \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}= \dfrac{100 \sqrt{100}}{6 \times 1^2}= \dfrac{1000}{6}$ satuan luas

Darimana rumus $L= \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}$ ?
Menghitung luas daerah yang dibatasi kurva kuadrat dengan sumbu x sama dengan menghitung

$\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx$

Mengapa bisa demikian.
Perhatikan saja batas atas dan batas bawah integral. Mereka merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut. Karena memang yang kita cari adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva kuadrat dan sumbu x. Tentu saja batas bawahnya adalah akar yang terkecil, dan batas atasnya adalah akar yang besar.

Sekarang kita misalkan $f(x)=ax^2+bx+c$

$\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx = \int \limits_{x_1}^{x_2} ax^2+bx+c \, dx$
$\dfrac{a}{3}(x_2^3-x_1^3)+ \dfrac{b}{2}(x_2^2-x_1^2)+c(x_2-x_1)$
$\dfrac{a}{3}(x_2-x_1)(x_2^2+x_1^2+x_1x_2)+ \dfrac{b}{2}(x_2-x_1)(x_1+x_2)+c(x_2-x_1)$
$(x_2-x_1) \big( \dfrac{a}{3}(x_2^2+x_1^2+x_1x_2)+ \dfrac{b}{2}(x_1+x_2)+c \big)$

Ingat!
$x_1+x_2= \dfrac{-b}{a}, \qquad x_1x_2= \dfrac{c}{a}, \qquad x_2-x_1= \dfrac{ \sqrt{D}}{a}$
$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2= \dfrac{b^2}{a^2}- \dfrac{2c}{a}= \dfrac{b^2-2ac}{a^2}$

Maka diperoleh
$\int \limits_{x_1}^{x_2} f(x) \, dx$
$= \dfrac{ \sqrt{D}}{a} \big( \dfrac{a}{3}( \dfrac{b^2-2ac}{a^2}+ \dfrac{c}{a})+ \dfrac{b}{2}( \dfrac{-b}{a})+c \big)$
$= \dfrac{ \sqrt{D}}{a} \big( \dfrac{2b^2-2ac-3b^2+6ac}{6a} \big)$
$= \dfrac{ \sqrt{D}}{a} \big( \dfrac{-D}{6a} \big)$
$= \dfrac{-D \sqrt{D}}{6a^2}$

Sudah terbukti. .

Adakah rumus cepat yang lain untuk integral mencari luas daerah? Ada, yaitu
$\mbox{ Luas = } \dfrac{2}{3} \times \mbox{ Lebar } \times \mbox{ Tinggi }$

Apa lebar dan apa tinggi? Lebih mudah jika kita langsung menuju contoh berikut :
Bagaimana jika menemukan soal yang hanya berupa gambar seperti gambar berikut
Berapa luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu x?

Solusi bisa menggunakan cara cepat dengan rumus
$\mbox{ Luas = } \dfrac{2}{3} \times \mbox{ Lebar } \times \mbox{ Tinggi }$
Keterangan :
Lebar = jarak kedua titik potong pada sumbu x
Tinggi = jarak antara puncak sampai sumbu x
Dengan demikian, lebar=3-1=2 dan tinggi=3
Sehingga $Luas = \dfrac{2}{3} \times 2 \times 3=4 \, satuan \, luas$

Darimana rumus cara cepat untuk luas yang berikut ini
$\mbox{ Luas = } \dfrac{2}{3} \times \mbox{ Lebar } \times \mbox{ Tinggi }$

Seperti pada sebelumnya, kita misalkan persamaan kuadratnya yaitu $ax^2+bx+c$
Maka,
$Lebar = x_2-x_1= \dfrac{ \sqrt{D}}{a}$
$Tinggi = rumus y puncak = \dfrac{D}{4a}$

Sehingga $Luas = \dfrac{2}{3} \times ( \dfrac{\sqrt{D}}{a}) \times ( \dfrac{D}{4a}) = \dfrac{D \sqrt{D}}{6a^2}$

blog buat tugas

Blogroll

Friday, September 27, 2013