Blogroll

KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN LUAS DAERAH KURVA DENGAN INTEGRAL



  1. Carilah luas kurva y = x^2 + 1 di antara garis x=0, x=4 dan sumbu x.
    Tutup Jawaban
        \begin{align*} \int_0^4 (x^2+1) \: \mathrm{d}x &= \left[\frac{1}{3}x^3 + x \right]_0^4 \\ &= \frac{1}{3} \cdot 4^3 + 4 - (\frac{1}{3} \cdot 0^3 + 0 ) \\ &= \frac{64}{3} + \frac{12}{3} - 0 \\ &= \frac{76}{3} \\ &= 25\frac{1}{3} \: \text{satuan} \end{align*}
  2. Tentukanlah luas yang dibentuk oleh y = sin x, y = 1, x = 0 dan terletak di kuadran 1.
    Tutup Jawaban
    Kuadran 1 artinya batas integral mulai dari 0 \: - \: \frac{\pi}{2}
        \begin{align*} \text{Luas kurva} &= \int_0^\frac{\pi}{2} \sin x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[-\cos x\right]_0^\frac{\pi}{2} \\ &= -\cos (\frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) \\ &= 0 + 1 \\ &= 1 \end{align*}
  3. Perhatikan gambar di bawah ini.
    Parabola y=5-x^2 dan y = (x-1)^2
    Tentukan luas yang dibentuk oleh garis y = 5 - x^2 dan y = (x-1)^2.
    Lihat Jawaban
  4. Carilah luas yang diarsir dari gambar dibawah ini. Persamaan garisnya adalah y^2 = x + 1 dan x - y = 1.
    parabola-garis
    Tutup Jawaban
    Supaya lebih mudah, lebih baik kita menghitung luas kurva terhadap sumbu y. Sesuaikan persamaan kurva sehingga menjadi x = y^2 -1 dan x = y + 1, lalu cari titik potong nya.
        \begin{align*} y^2 - 1 &= y + 1 \\ y^2 - y - 1 - 1 &= 0 \\ y^2 - y -2 &= 0 \\ (y-2)(y+1) &= 0 \\ \end{align*}
        \begin{align*} y_1 &= 2 \\ x_1 &= 2 + 1 \\ &= 3 \\ y_2 &= -1 \\ x_2 &= -1 + 1 \\ &= 0 \end{align*}
    Lakukan Integral dari kurva kanan dikurang kurva kiri. Gunakan batas integral dari -1 sampai 2.
        \begin{align*} \text{Luas Kurva} &= \int_{-1}^2 y+1 - (y^2 - 1) \: \mathrm{d}y \\ &= \int_{-1}^2 y+1 - y^2 + 1 \: \mathrm{d}y \\ &= \int_{-1}^2 2 + y- y^2 \: \mathrm{d}y \\ &= \left[ 2y + \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{3}y^3 \right]_{-1}^2 \\ &= 2(2) + \frac{1}{2}(2)^2 - \frac{1}{3}(2)^3 - \left[2(-1) + \frac{1}{2}(-1)^2 - \frac{1}{3}(-1)^3 \right] \\ &= 4 + 2 - \frac{8}{3} - \left[-2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right] \\ &= 6 - \frac{8}{3} + 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \\ &= 8 - \frac{9}{3} - \frac{1}{2} \\ &= 8 - 3 - \frac{1}{2} \\ &= 5 - \frac{1}{2} \\ &= 4\frac{1}{2} \end{align*}
  5. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis y=2x, y=\frac{1}{2}x dan x+y=6 !
    Tutup Jawaban
    Untuk menyelesaikan soal ini, gambarlah dulu ketiga garis dan tandai luas yang ingin dicari.
    luas-kurva-1
    Melihat gambar yang diarsir, cara untuk menyelesaikan adalah dengan membagi 2 daerah seperti gambar dibawah ini
    luas-kurva-2
    Cari terlebih dahulu titik potong antara kurva y=2x dengan x+y=6.
        \begin{align*} x+y &= 6 \\ y &= 6-x \\ 2x &= 6 -x \\ 3x &= 6 \\ x &= 2 \\ y &= 6-2 \\ &= 4 \end{align*}
    Lalu cari titik potong antara kurva y=1/2 x dengan x+y=6.
        \begin{align*} x+y &= 6 \\ y &= 6-x \\ \frac{1}{2}x &= 6 -x \\ \frac{3}{2}x &= 6 \\ x &= 6 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 4 \\ y &= 6-4 \\ &= 2 \end{align*}
    Cari luas kurva bagian I.
        \begin{align*} \text{Luas Kurva I} &= \int_0^2 2x - \frac{1}{2}x \: \mathrm{d}x \\ &= \int_0^2 \frac{3}{2}x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^2\right]_0^2 \\ &= \left[\frac{3}{4} x^2\right]_0^2 \\ &= \frac{3}{4} (2)^2 - 0 \\ &= 3 \end{align*}
    Cari luas kurva bagian II.
        \begin{align*} \text{Luas Kurva II} &= \int_2^4 6-x - \frac{1}{2}x \: \mathrm{d}x \\ &= \int_2^4 6 - \frac{3}{2}x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[6x - \frac{3}{4} x^2\right]_2^4 \\ &= 6(4) - \frac{3}{4} (4)^2 - \left(6(2) - \frac{3}{4}(2)^2 \right) \\ &= 24 - 12 - 12 + 3 \\ &= 3 \end{align*}
    Jadi luas yang diarsir adalah Luas Kurva I + Luas Kurva II = 6 cm.
  6. Hitunglah luas daerah kurva y = x^2 - 3x, yang dibatasi sumbu y dan garis x = 5 !
    Tutup Jawaban
    Untuk menyelesaikan soal ini, pertama carilah titik potong dengan sumbu x. Lalu supaya lebih jelas, gambarlah kurva tersebut.
    Titik potong dengan sumbu x
        \begin{align*} y &= x^2 - 3x \\ 0 &= x (x-3) \\ x_1 &= 0 \\ x_2 &= 3 \end{align*}
    Gambarlah kurva tersebut
    luas-kurva-4
    Dari gambar terlihat bahwa ada 2 daerah dimana yang satu berada di bawah sumbu x dan yang satu di atas sumbu x. Supaya penjumlahan kedua daerah tersebut benar, maka kita perlu untuk memecahkan integral menjadi dua interval, yaitu dari 0-3, dan dari 3-5.
        \begin{align*} \text{Luas Daerah I} &= \int_0^3 x^2 - 3x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3 \\ &= \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 - 0 \\ &= \frac{1}{3}(27) - \frac{3}{2}(9) \\ &= 9 - \frac{27}{2} \\ &= \frac{18}{2} - \frac{27}{2} \\ &= -\frac{9}{2} \end{align*}
        \begin{align*} \text{Luas Daerah II} &= \int_3^5 x^2 - 3x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 \right]_3^5 \\ &= \frac{1}{3}(5)^3 - \frac{3}{2}(5)^2 - \left(\frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 \right) \\ &= \frac{1}{3}(125) - \frac{3}{2}(25) - \left(-\frac{9}{2} \right) \\ &= \frac{125}{3} - \frac{75}{2} + \frac{9}{2} \\ &= \frac{250}{6} - \frac{66}{2} \\ &= \frac{250}{6} - \frac{198}{6} \\ &= \frac{52}{6} \end{align*}
    Tanda minus pada luas daerah I perlu diabaikan karena tanda minus hanya menandakan bahwa letak daerah berada di bawah sumbu x. Carilah luas kurva dengan menambahkan kedua daerah tersebut
        \begin{align*} \text{Luas Kurva} &= \text{Luas Daerah I} + \text{Luas Daerah II} \\ &= \left| -\frac{9}{2} \right| + \frac{52}{6} \\ &= \frac{27}{6} + \frac{52}{6} \\ &= \frac{79}{6} \\ &= 13\frac{1}{6} \end{align*}
  7. Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh y = x^3 - 3x^2 + 2x dan sumbu x !
    Tutup Jawaban
    Untuk grafik fungsi pangkat 3, perlu dianalisa ada berapa titik potong pada sumbu x nya. Jika titik potong sumbu x lebih dari satu, maka untuk amannya, kita perlu melakukan integral secara terpisah untuk masing-masing interval titik potong. Ini karena dalam fungsi pangkat 3 terkadang ada fungsi naik dan fungsi turun yang saling meniadakan. Jika kita langsung mengintegral tanpa memecah interval, hasilnya akan salah.
    Cari titik potong grafik dengan sumbu x (berarti y = 0).
        \begin{align*} y &= x^3 - 3x^2 + 2x \\ &= x(x^2 - 3x + 2) \\ &= x(x-2)(x-1) \\ 0 &= x(x-2)(x-1) \\ x_1 &= 0 \\ x_2 &= 1 \\ x_3 &= 2 \end{align*}
    Jika digambar, hasilnya kurang lebih seperti di bawah ini.
    luas-kurva-3
    Disini dapat kita lihat bahwa daerah A berada di atas sumbu x dan daerah B di bawah sumbu x. Jika kita langsung menggabungkan kedua daerah tersebut, akan didapat hasil = 0, sehingga kita perlu memecah interval dan mencari masing-masing daerah.
        \begin{align*} \text{Luas Daerah A} &= \int_0^1 x^3 - 3x^2 + 2x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{3}x^3 + \frac{2}{2}x^2 \right]_0^1 \\ &= \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{4}(1)^4 - (1)^3 + (1)^2 - 0 \\ &= \frac{1}{4} - 1 + 1 \\ &= \frac{1}{4} \end{align*}
        \begin{align*} \text{Luas Daerah B} &= \int_1^2 x^3 - 3x^2 + 2x \: \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 \right]_1^2 \\ &= \frac{1}{4}(2)^4 - (2)^3 + (2)^2 - \left(\frac{1}{4}(1)^4 - (1)^3 + (1)^2 \right) \\ &= \frac{1}{4}(16) - 8 + 4 - \left(\frac{1}{4} - 1 + 1 \right) \\ &= 4 - 8 + 4 - \frac{1}{4} \\ &= -\frac{1}{4} \end{align*}
    Perhatikan bahwa luas B bernilai minus, karena letaknya yang di bawah sumbu x. Inilah yang menyebabkan perhitungan integral secara langsung akan saling meniadakan. Untuk menghitung luas, nilai minus ini harus kita abaikan, yang kita perhitungkan hanya luas daerahnya saja.
        \begin{align*} \text{Luas Kurva} &= \text{Luas Daerah A} + \text{Luas Daerah B} \\ &= \frac{1}{4} + \left| -\frac{1}{4} \right| \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}

15 comments:

  1. UnknownAugust 30, 2014 at 11:20 PM

    Pak kalo luas daerah yg dibtsi kurva y=(x+3)^2 , sumbu x, gris x=-5 , x=1, arsirannya gmna ya? Sy kdg bingung ngarsirnya

    ReplyDelete
  2. UnknownAugust 30, 2014 at 11:26 PM

    Makasih pak sebelumnya

    ReplyDelete
  3. UnknownDecember 26, 2014 at 8:07 PM

    thanks, sangat membantu :)

    ReplyDelete
  4. Expo Lowongan KerjaJune 23, 2015 at 12:41 AM

    Makasih bgt bro info nya, sangat bermanfaat buat saya. hehe
    Jangan Lupa mampir ke blog Lowongan Kerja Terbaru ane ya Lowongan BANK

    ReplyDelete
  5. STATISTIK INFERENSIAL 2022 KELOMPOK 1December 7, 2015 at 6:13 PM

    Pak ada contoh lainnya gak??? Yang menyangkut panjang kurva

    ReplyDelete
  6. alberto ambekJanuary 2, 2016 at 5:44 AM

    Pak kalau daerah yang di batasi kurva y=3c pangkat 2x dan y=3c pangkat -x dan ordinat pada x=1 dan x=2

    ReplyDelete
  7. UnknownJanuary 10, 2016 at 5:38 AM

    saya mau nanya, bukannya kalau luas integral di bawah sumbu x itu pada rumusnya ditambahin negatif ya?

    ReplyDelete
  8. Nirati AmiliaAugust 9, 2016 at 4:46 AM

    pak mau tanya, bagaimana cara menggambar kurva luas daerah y= sin x, sumbu x, garis x=0 dan x= 2(180)?

    ReplyDelete
  9. UnknownOctober 7, 2016 at 3:03 PM

    pak saya punya soal ini bisa bantu ngerjain engga?
    soal ini pak,
    hitunglah luas daerah yang batasin oleh kurva-kurva y= Xkuadrat - 2x dan y= 4x-xkuadrat ?

    ini buat PR pagi ini pak

    ReplyDelete
  10. UnknownOctober 18, 2016 at 6:08 AM

    Tolong bantu soal ini kak .. + caranya
    Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x kuadrat dan garis y=5x-4 adalah ...
    Makasih

    ReplyDelete
  11. UnknownOctober 18, 2016 at 6:10 AM

    Tolong bantu soal ini kak .. + caranya
    Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x kuadrat dan garis y=5x-4 adalah ...
    Makasih

    ReplyDelete
  12. UnknownOctober 18, 2016 at 6:10 AM

    Tolong bantu soal ini kak .. + caranya
    Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x kuadrat dan garis y=5x-4 adalah ...
    Makasih

    ReplyDelete
  13. UnknownOctober 18, 2016 at 6:13 AM

    Tolong bantu soal ini kak .. + caranya
    Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x kuadrat dan garis y=5x-4 adalah ...
    Makasih

    ReplyDelete
  14. Queen of Arkham AsylumDecember 4, 2016 at 12:55 PM

    nmr.5 bukannya seharusnya jawaban nya 5 1/2 ya?

    ReplyDelete
  15. cahyaniFebruary 24, 2017 at 7:51 AM

    tolong dibantu
    luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= -x2+4 dan sumbu x adalah

    ReplyDelete

Subscribe to: Comments (Atom)